Similar Figures — Same Shape, Different Size
Zoom in on a photo — the colors and shapes stay; only the size changes.
스마트폰 사진을 손가락으로 확대해 본 적 있죠. 사진 속 사람의 얼굴, 건물, 풍경 — 모양은 그대로지만 크기가 커집니다. 줄이면 작아집니다. 이것이 닮음의 가장 직관적인 모습입니다.
수학적으로 두 도형이 닮음(similar)이라는 것은 — 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 것이 다른 도형과 합동임을 말합니다. 모양은 같고 크기만 다른 두 도형.
이때 두 도형의 대응변의 길이의 비를 닮음비(scale factor) $k$라 합니다. 그리고 이 단순한 한 숫자 $k$로부터 — 둘레는 $k$배, 넓이는 $k^2$배, 부피는 $k^3$배라는 강력한 법칙이 따라옵니다.
One scale factor $k$ governs everything.
한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 것이 다른 도형과 합동일 때, 두 도형은 닮음이라 합니다. 기호 ∽를 사용합니다.
주의: 합동 ($\equiv$)은 닮음의 특별한 경우(닮음비 = 1:1). 모든 합동은 닮음, 그러나 모든 닮음이 합동은 아니다.
두 닮은 도형의 대응변의 길이의 비를 닮음비라 합니다. 보통 $k:1$ 또는 단순히 $k$로 표현합니다.
모든 대응변의 비가 같은 값 $k$가 되어야 닮음.
모양이 같으므로 모든 대응각의 크기가 같다.
모든 변이 $k$배가 되므로 둘레도 $k$배.
가로·세로가 모두 $k$배 → 넓이는 $k \times k = k^2$배.
두 닮은 입체(예: 정육면체, 구)의 닮음비가 $k:1$이면, 부피의 비는 $k^3:1$. 길이는 $k$배, 넓이는 $k^2$배, 부피는 $k^3$배.
Slide the scale factor — watch perimeter and area change together.
Five quick checks on the similarity properties.
Using the four properties of similar figures.
$\overline{AB} : \overline{DE} = 4 : 6 = 2 : 3$. 따라서 닮음비 $= 2 : 3$.
$\overline{BC} : \overline{EF} = 2 : 3$이므로 $5 : \overline{EF} = 2 : 3$ → $\overline{EF} = \dfrac{5 \times 3}{2} = \dfrac{15}{2} = 7.5$.
닮음비 $= 4 : 6 = 2 : 3$.
둘레의 비 = 닮음비 $= 2 : 3$.
넓이의 비 = 닮음비의 제곱 $= 2^2 : 3^2 = 4 : 9$.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
두 도형이 모양이 같고 크기만 다르면 닮음. 단 하나의 숫자 — 닮음비 $k$ — 가 모든 것을 결정한다. 길이는 $k$배, 둘레는 $k$배, 넓이는 $k^2$배, 부피는 $k^3$배.